№1. Прямокутна система координат в просторі
Прямокутна система координат в просторі • Ox – вісь абсцис; • Oy – вісь ординат; • Oz – вісь аплікат; • Oxyz – система; • Oxy, Oxz, Oyz (або xy, xz, yz) – координатні площини; • O – початок координат. ...
№2. Знаходження відстані між точками в просторі
Знаходження відстані між точками в просторі • Теорема. Квадрат відстані між двома точками дорівнює сумі квадратів різниць їхніх відповідних координат.
№3. Координати середини відрізка
Координати середини відрізка • Теорема. Якщо 𝐶 𝑥; 𝑦; 𝑧 – середина відрізка з кінцями 𝐴(𝑥1; 𝑦1; 𝑧1) і B(𝑥2; 𝑦2; 𝑧2), то 𝑥 = 𝑥1+𝑥2/2, y = 𝑦1+𝑦2/2, z = 𝑧1+𝑧2/2.
№4. Рівнянням сфери і площини
Рівнянням фігури називають таке рівняння, яке задовольняють координати будь-якої точки даної фігури і тільки точки даної фігури. Сфера – це геометричне місце точок (ГМТ) простору, рівновіддалених від однієї точки – центра – на відстань, що називають радіусом сфери.
№5. Рівняння прямої в просторі
Теорема. Якщо пряма проходить через точки 𝐴(𝑥1; 𝑦1; 𝑧1) і 𝐵(𝑥2; 𝑦2; 𝑧2) та не паралельна жодній з координатних площин, то їй відповідає система рівнянь 𝒙−𝒙𝟏/𝒙𝟐−𝒙𝟏 = 𝒚−𝒚𝟏/𝒚𝟐−𝒚𝟏 = 𝒛−𝒛𝟏/𝒛𝟐−𝒛𝟏 .
№6. Застосування координат
Застосування координат 1) Введення зручної системи координат; 2) Визначення координат потрібних точок; 3) Застосування найпростіших задач.
№7. Вектори у просторі
Вектори у просторі Основні поняття: • Вектор; • Координати вектора; • Рівні вектори; • Нульовий вектор; • Модуль вектора; • Колінеарні вектори; • Компланарні вектори.
№8. Дії над векторами у просторі
Дії над векторами у просторі Властивості суми векторів • Для будь-яких векторів 𝑎, 𝑏 і с справедливі рівності: • 1) 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎; • 2) 𝑎 + 𝑏 + с = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 – переставний і сполучний закони додавання.
№9. Скалярний добуток векторів
Скалярний добуток векторів Кут між векторами • Кутом між двома ненульовими векторами є кут між відповідними їм напрямленими відрізками, які виходять з однієї точки
№10. Знаходження кута між векторами
Знаходження кута між векторами Кут між векторами • Кутом між двома ненульовими векторами є кут між відповідними їм напрямленими відрізками, які виходять з однієї точки.
№11. Компланарність векторів
Компланарність векторів Означення компланарних векторів • Вектори називають компланарними, якщо у разі їх відкладання від однієї точки вони лежать в одній площині.
№12. Рівняння площини
Рівняння площини
№13. Застосування векторів
Застосування векторів
№14. Рухи. Паралельне перенесення
Рухи. Паралельне перенесення
№15. Симетрія відносно точки
Симетрія відносно точки
№16. Симетрія відносно площини
Симетрія відносно площини
№17. Поворот і симетрія відносно площини
Поворот і симетрія відносно площини
№18. Гомотетія і перетворення подібності
Гомотетія і перетворення подібності
№19. Двогранні кути. Лінійний кут двогранного кута
Двогранні кути. Лінійний кут двогранного кута Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує. • Півплощини, які утворюють двогранний кут, називають гранями, а пряму, що їх обмежує, – ребром двогранного кута
№20. Геометричні тіла і многогранники
Геометричні тіла і многогранники Многогранником називається тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості многокутників • Многокутники, які обмежують многогранник, називають гранями, їх сторони – ребрами, а кінці ребер – вершинами многогранника
№21. Призма
Призма Призмою називається многогранник, у якого дві грані – рівні n-кутники, а решта n граней – паралелограми
№22. Площа поверхні призми
Площа поверхні призми Площею поверхні призми називають суму площ усіх її граней. • Площею бічної поверхні призми називають суму площ її бічних граней. • Теорема. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на висоту призми.
№23. Паралелепіпед
Паралелепіпед Паралелепіпедом називається призма, основа якої – паралелограми. Теорема. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й діляться цією точкою навпіл
№24. Піраміда
Піраміда Пірамідою називається многогранник, одна грань якого – довільний многокутник, а інші грані – трикутники, що мають спільну вершину.
№25. Взаємне розміщення кулі та площини
Взаємне розміщення кулі та площини
№26. Площа поверхні піраміди
Площа поверхні піраміди Площею повної поверхні піраміди є сума площ усіх її граней (бічних граней і основи). • Площею бічної поверхні піраміди є сума площ її бічних граней.
№27. Властивості висоти піраміди
Властивості висоти піраміди Навколо фігури, що лежить в основі піраміди можна описати коло і вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола. • Бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути.
№28. Тіла і поверхні обертання
Тіла і поверхні обертання Вісь обертання є віссю симетрії тіла обертання • Площини, які проходять через вісь симетрії є площинами симетрії тіла обертання
№29. Циліндр
Циліндр Циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони. Тіло, яке складається з двох обмежених плоских областей, які можна сумістити паралельним перенесенням, і всіх відрізків, які сполучають їх відповідні точки.
№30. Площа поверхні циліндра
Площа поверхні циліндра
№31. Конус
Конус Конусом називається тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо його катета. Тіло, утворене всіма відрізками, які сполучають д.ану точку – вершину конуса – з точками деякої обмеженої плоскої області – основи конус.
№32. Площа поверхні конуса
Площа поверхні конуса
№33. Зрізаний конус та його поверхня
Зрізаний конус та його поверхня
№34. Куля і сфера
Куля і сфера • Кулею називається тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра • Сферою називають поверхню кулі
№35. Дотична площина до сфери
Дотична площина до сфери Площина, яка має зі сферою єдину спільну точку, називається дотичною площиною до цієї сфери. Через кожну точку A сфери проходить єдина площина, дотична до сфери. Ця площина є перпендинулярною до радіуса OA, де O – центр сфери.
№36. Вписані й описані многогранники
Вписані й описані многогранники. Вписані та описані призми • Опуклий многогранник називають вписаним, якщо всі його вершини лежать на сфері. Ця сфера називається описаною для даного многогранники. • Опуклий многогранник називають описаним, якщо всі його грані дотикаються до сфери. Ця сфера називається вписаною для даного многогранника
№37. Комбінація призми та циліндра
Комбінація призми та циліндра Площина, яка має з циліндром спільні точки, що є точками лише однієї твірної, називають дотичною до циліндра
№38. Комбінація сфери і циліндра
Комбінація сфери і циліндра Сфера називається описаною навколо циліндра, якщо кола його основ належать сфері • Сфера називається вписаною в циліндр, якщо сфера дотикається до всіх твірних і обох основ циліндра
№39. Комбінація сфери та конуса
Комбінація сфери та конуса Сфера називається описаною навколо конуса, якщо коло його основи належать сфері • Сфера називається вписаною в конус, якщо сфера дотикається до всіх твірних і основи конуса
№40. Комбінація піраміди та конуса
Комбінація піраміди та конуса Площина, яка має з конусом за спільні точки лише множину точок однієї твірної, називається дотичною до конуса
№41. Поняття об’єму. Об’єм прямокутного паралелепіпеда
Поняття об’єму. Об’єм прямокутного паралелепіпеда Однією з найважливіших характеристик обмеженої плоскої фігури є її площа • Кожне тіло займає частину простору: одні тіла – більшу, інші – меншу. • Величину частини простору, яку займає геометричне тіло, називають об’ємом цього тіла.
№42. Об’єм циліндра
Об’єм циліндра
№43. Обчислення об’ємів тіл за допомогою інтеграла
Обчислення об’ємів тіл за допомогою інтеграла
№44. Об’єм піраміди
Об’єм піраміди
№45. Об’єм конуса
Об’єм конуса
№46. Об’єм кулі та її частини
Об’єм кулі та її частини
№47. Знаходження об’ємів многогранників
Знаходження об’ємів многогранників
№48. Площа сфери
Площа сфери
№49. Принцип Кавальєрі
Принцип Кавальєрі • Бонавентура Франческо Кавальєрі (1598–1647) – італійський математик. • Висунуті ним принципи і методи дозволили ще до відкриття математичного аналізу успішно розв’язати багато задач аналітичного характеру • Якщо два тіла можна розмістити так, що кожна площина, паралельна деякій даній площині, перетинаючи одне з тіл, перетинає і друге по фігурі такої самої площі, то об’єми цих тіл рівн
